今天，北大有个“密秘”告诉你

北京大学

2026-03-14 13:31

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你留意过吗？

在燕园里

找不到一块正五边形的地砖、窗格、墙面

智华楼进门处，黑白灰三色的异形地砖交错铺展，填成一块独特风景；校史馆前的地砖，在阳光下呈现出整齐清晰的几何图形；北阁的木门，图案层层叠砌，仿佛时间在这里一格格垒起……这些用相同形状的图形无空隙、不重叠地铺满平面的方式，被数学家称为“密铺”。

为什么校园里的建筑上随处可见多边形，却唯独没有正五边形？这个问题的答案，就藏在密铺的秘密里。今天，小北要将这个密铺的秘密——“密秘”，告诉你！

智华楼

农园食堂

校史馆

北阁

镜春园禄岛

3月14日是联合国教科文组织确定的国际数学日

“3.14”是最接近圆周率的两位小数

因此，今天又被称作“π Day”

让我们一同开动脑筋

思考这些图案背后

藏着怎样的数学知识吧！

平面上：什么形状能铺满？

密铺，这个听起来有些陌生的词，其实就藏在我们的日常生活中。你脚下的地砖、头顶的天窗、身旁的墙面，那些反复出现的几何图案，都是密铺的杰作。

理科2号楼的井盖

图书馆的窗

理科2号楼

百周年纪念讲堂

对外汉语教育学院

数学家把规则密铺定义为：使用形状、大小相同的平面图形无空隙、不重叠地铺满平面。听起来简单，但要做到这一点，图形必须满足一个苛刻的条件：围绕任何一个公共顶点的几个图形的内角之和，必须精确等于360°。

正三角形、正方形、正六边形之所以随处可见，正是因为它们完美地满足了这个条件：正方形内角90°，四个拼在一起；正三角形内角60°，六个拼在一起；正六边形内角120°，三个拼在一起。

为什么校园里找不到正五边形的地砖或窗格？答案就藏在它108°的内角里。三个正五边形拼起来，角度和是324°，留下了36°的空隙；四个拼在一起，又变成了432°，超出了360°——无论如何都无法恰好闭合。正五边形就这样被排除在平面密铺的家族之外。

但数学家们的好奇心远不止于“能不能铺满”。他们还想知道：如果铺不满，那怎样才能铺得最满？这就把我们引向了另一个经典问题——圆的最密排列。

如果你在平面上尽可能紧密地排列等大的圆，最有效的方式是让每个圆都与六个相邻的圆相切，形成六角密堆积。在这种排列下，圆占据了绝大部分面积，留下的空隙被压缩到最小。计算一下圆的面积与它们所围成菱形面积的比值，你会得到一个与π有关的数字：

这意味着，即使是最紧密的排列，圆也只能覆盖约90.69%的平面，剩下的则是不可避免的缝隙。这是平面上圆的最密排列的极限，也是数学家阿克塞尔·图在1910年试图证明的结论。不过，后世数学史研究表明，图的证明存在逻辑不够严谨之处。直到1940年，匈牙利数学家拉斯洛·费耶斯·托特才给出了第一个被广泛接受的严格证明。

从平面到空间，问题变得更加复杂：如何用等大的球堆叠出最密的排列？这正是困扰数学家四百年的开普勒猜想。1611年，开普勒提出，最密的堆叠方式有两种——面心立方堆积和六方密堆积。它们的密度相等，都可以用公式表示为：

也就是说，即使是最理想的排列，球体也只能占据约74%的空间，剩下的26%是无论如何也无法填满的空隙。这个猜想直到1998年才由数学家黑尔斯借助计算机证明成立，成为数学史上最漫长的探索之一。

在这两个公式中，π悄然登场。它不仅是圆的周长与直径之比，也是我们丈量“铺得有多满”时无法绕开的常数。无论是在平面上排列圆，还是在空间中堆叠球，π都静静地藏在每一个比值背后，见证着数学家们对“最满”的不懈追求。

球面镶嵌：弯曲空间中的新规则

当我们从平面的无限延伸转向球面的有限闭合，一个奇妙的现象发生了：那个在平面上被拒之门外的正五边形，竟然在球面上找到了自己的位置。

让我们回到那个让正五边形败下阵来的条件：在平面上，围绕一个点的角度和必须等于360°。但在球面上，规则变了——因为球面是弯曲的。为了形成一个封闭的球体，围绕一个点的角度和必须小于360°，剩下的那部分角度，数学家称之为“角亏”。正是这看似缺失的角度，让原本无法铺平的图形得以弯曲、闭合，最终包裹成一个完整的球。

正五边形终于等来了它的高光时刻。

三个正五边形在球面上拼在一起，角度和为324°，比360°少了36°——正是这36°的角亏，让平面材料得以弯折，最终闭合。猜猜看需要多少个正五边形才能拼成一个完整的球面？答案是12个。这12个正五边形，恰好构成了一个完美的球面多面体：正十二面体。